第五章　一元函数各分学

　　（一）考核的知识点

　　1.原函数和不定积分的概念及不定积分的基本性质。

　　2.基本积分公式。

　　3.不定积分的换元积分法。

　　4.不定积分的分部积分法。

　　5.微分方程初步。

　　6.定积分概念及其几何意义。

　　7.定积分的基本性质和中值定理。

　　8.变上限积分与牛顿—莱布尼茨公式。

　　9.定积分的换元积分法和分部积分法。

　　10.无穷限反常积分。

　　11.定积分的几何应用。

　　12.定积分的一些物理应用。

　　（二）自学要求

　　一元函数积分学是微积分学的号一个重要组成部分，不定积分可看成是微分运算的逆运算，而定积分则源于曲边图形的面积计算和已知物体运动的速度求行走的路程等实际问题，与微分学一样，积分学也有广泛的应用，微分方程的理论和方法几乎是与微积分同时发展起来的，具有广泛的实际应用。

　　本章总的要求是：理解原函数和不定积分的概念，清楚微分运算和不定积分运算之间的关系；理解定积分的概念及其几何意义，熟悉不定积分和定积分的基本性质；了解定积分的积分中值定理；理解变上限积分及其求导公式；掌握牛顿—莱布尼茨公式；熟记基本积分公式；熟练掌握不定积分和定积分的换元积分法和分部积分法，并能熟练地运用它们计算不定积分和定积分；理解微分方程的基本概念，掌握可分离变量微分方程和一阶线性微分方程的解法；清楚无穷限反常积分的定义，在比较简单的情况下会依据定义判别它是否收敛并在收敛时求出其值；会用定积分解决较简单的几何问题和实际问题，并理解用定积分处理非均匀整体问题的思想和方法。

　　本章重点：不定积分和定积分的概念及其计算；变上限积分求导公式和牛顿—莱布尼茨公式；定积分的应用。

　　本章难点：求不定积分，定积分的应用。

　　（三）考核要求

　　1.原函数和不定积分概念及定积分的基本性质，要求达到“领会”层次。

　　1.1 清楚原函数和不定积分的定义，了解它们的联系与区别。

　　1.2 理解微分运算和不定积分运算互为逆运算。

　　1.2 熟记不定积分的基本性质。

　　2.基本积分公式，要求达到“简单应用”层次。

　　2.1 熟记基本积分公式，并能熟练运用。

　　3.不定积分的换元积分法，要求达到“简单应用”层次。

　　3.1 能熟练运用第一换元积分法（即凑微分法）。

　　3.2 掌握第二换元积分法，知道几种常见的换元类型。

　　3.3 会求比较简单的有理函数的不定积分。

　　4.不定积分的分部积分法，要求达到“简单应用”层次。

　　4.1 掌握分部积分法，能熟练地用它求几种常见类型的不定积分。

　　5.微分方程初步，要求达到“简单应用”层次。

　　5.1 清楚微分方程的阶、解、通解、初始条件、特解的含义。

　　5.2 能识别可分离变量的微分方程并会求解。

　　5.3 能识别一阶线性微分方程并会求解。

　　6.定积分概念及其几何意义，要求达到“领会”层次。

　　6.1 理解定积分的概念并了解其几何意义。

　　6.2 清楚定积分与不定积分的区别，知道定积分的值完全取决于被积函数和积分区间，与积分变量采用的记号无关。

　　7.定积分的基本性质和中值定理，要求达到“领会”层次。

　　7.1 掌握定积分的基本性质。

　　7.2 能正确叙述定积分的中值定理，了解其几何意义，知道连续函数在区间上的平均值的概念及其求法。

　　8.变上限积分与牛顿—莱布尼茨公式，要求达到“综合应用”层次。

　　8.1 理解变上限积分是积分上限的函数并会求其导数。

　　8.2 掌握牛顿—莱布尼茨公式，并领会其重要的理论意义。

　　8.3 会用牛顿—莱布尼茨公式计算定积分。

　　8.4 会计算分段函数的定积分。

　　9.定积分的换元积分法和分部积分法，要求达到“简单应用”层次。

　　9.1 掌握定积分的换元积分法和分部积分法。

　　9.2 知道对称区间上奇函数或偶函数的定积分的性质。

　　10.无穷限反常积发，要求达到“简单应用”层次。

　　10.1 清楚无穷限反常积分的概念及其敛散性。

　　10.2 在被积函数比较简单的情况下会依据定义判断反常积分的敛散性，并在收敛时求出其值。

　　11.定积分的几何应用，要求达到“简单应用”层次。

　　11.1 会计算在直角坐标系中平面图形的面积。

　　11.2 会计算旋转体的体积。

　　11.3 会求曲线的弧长。

　　12.定积分的一些物理应用，要求达到“领会”层次。

　　12.1 会计算变速直线运动在一定时间段内所经历的路程。

　　12.2 会计算变力沿直线段所做的功。